Divergence Theorem in Physics
Divergence Theorem in Physics 很早就知道数学中这个散度定理和物理电磁/引力的高斯公式应该是一回事的,所以考虑一下是怎么回事. 高斯公式的引力形式 <div class='cbox' 高斯公式的引力形式: $ V f:R^3\to R^3 Mf M Mf(\vec r)=\dfrac{GM}{|r|^3}\vec r f x(r...
# whims
Bigger Dual Vector Space
Bigger Dual Vector Space 好我们都知道对偶空间是什么了,由于有限维向量空间一定同构于自己的对偶空间,且同构于 后还可以定义内积后用Reisz表示定理,所以此时这个对偶空间看起来很废物. 但是无限维的时候对偶空间是有意义的,实际上我们发现无限维向量空间行对偶空间和原空间一定不相等,事实上,一定比原空间大. 这里的大是维数上的,但因为无...
I am a pig
I am a pig <div class='cbox' $ f(n)=r n,f'(n)=r {n+1} r {n}= a n f n 0 a n r n f(n)=a n,f'(n)=a {n+1} a n,f''(n)=f'(n+1) f'(n) f f f \int \dfrac{f'}{f}=\ln f x n=\ln(r {n+1}) \ln(...
Tell Semicontinuous
我们生活在虚拟世界的证据:你看到了一个概念,然后他就会天天冒出来,而以前它并不会天天冒出来. Def 上半连续说的是向上增长的时候是连续的,函数值不能突然上升但可以突然下降. 于是一个定义是 处上半连续定义为 ,存在 的邻域 使得 . 而同样我们可以理解 的原像是开集, 的原像是闭集.意思是你在一个小于 的地方,你往旁边走一点点还是小于 的(开),你在一个...
Cayley Hamilton
Cayley Hamilton 好了大家都知道内容说的是矩阵 特征多项式 有 如果 或者说,如果 满足 的多项式方程的根也属于 ,即我们可以搞特征值那一套. 证明方法会很多. 比如舒尔定理+因式分解,则 ,你可以排列这些因式使得 且 ,于是乘起来显然对任意向量是 . 比如直接考虑广义本征空间 上 是幂零的. 如果任意域 然后大家都知道你不能直接声称 带进去...
A Fun Problem about Function Limits
A Fun Problem about Function Limits <div class='cbox' $ \epsilon x n \lim {n \to \infty} x n=+\infty f(x n) \epsilon \delta n,\forall x\in (x i \delta i,x i+\delta i) \vert f(x) f...
Right Continuous Function
Can you find a function such that right continuous at every point but not left continuous on a point $ q 1,q 2\ldots 2^{ i} x \epsilon \forall \delta,\exists y\in [x \delta,x],\ve...