Tell Semicontinuous

我们生活在虚拟世界的证据:你看到了一个概念,然后他就会天天冒出来,而以前它并不会天天冒出来.

Def

上半连续说的是向上增长的时候是连续的,函数值不能突然上升但可以突然下降.

于是一个定义是 $x_0$ 处上半连续定义为 $\forall \epsilon>0$ ,存在 $x_0$ 的邻域 $U$ 使得 $\forall x\in U,f(x)<f(x_0)+\epsilon$ .

而同样我们可以理解 $(-\infty,a)$ 的原像是开集, $[a,+\infty)$ 的原像是闭集.意思是你在一个小于 $a$ 的地方,你往旁边走一点点还是小于 $a$ 的(开),你在一个大于等于 $a$ 的地方走一点点却可能是小于 $a$ 的(闭).

第三个定义说的是

\begin{gathered} \limsup_{x\to x_0} f(x)\le f(x_0) \end{gathered}

这里的上极限是不包含 $x_0$ 的.如果包含自身的话 $\limsup_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ ,这个和第一个是容易转化的:你上极限比 $f(x_0)$ 大就是任意小邻域都有比 $x_0$ 大的点.

Conclusion

于是对任意函数 $f$ ,取上极限后 $g(x_0)=\limsup_{x\to x_0} f(x)$ 的函数 $g$ 一定上半连续.

这是为什么呢.你注意上极限其实也是

\begin{gathered} g(x_0)=\inf_{\delta} \sup_{\vert x-x_0 \vert <\delta} f(x) \end{gathered}

于是 $g(x_0)=A$ 意味着 $\forall \epsilon,\exists \delta, \sup_{\vert x-x_0 \vert <\delta} f(x)<A+\epsilon$ ,也就是 $x$ 的一个邻域内,所有值都小于 $A+\epsilon$ ,则这也蕴含了这个邻域内所有的 $g$ 都不大于 $A+\epsilon$ ,于是半连续得证.

开集/闭集的特征函数分别是下半/上半连续

由定义

上半连续/下半连续分别对下确界/上确界封闭

考虑只证下半连续的上确界.

那么 $\sup_n f_n>a$ 的集合其实就是每个 $f>a$ 的集合的并,开集的并还是开集,结束

下半连续的可数正系数和还是下半连续,上半连续的有限和还是上半连续

注意这里是不一样的,一个反例是我们取一些闭集,它们的并集是一个开集,比如 $[\dfrac1{n+1},\dfrac1n]$ ,它们的并集是 $(0,1]$ ,所以这些集合的特征函数加起来在 $0$ 那里就不是上半连续的.

首先有限和都是显然的啊.

然后对下半连续,注意到可数正系数和其实是我们定义 $S$ 是部分和,然后取上确界,即证.

而对上半连续你只能取下确界不能取上确界就寄了.