回忆高斯定理:对闭区域$V$上的可微多元向量值函数$f:R^3\to R^3$,有:

$$\begin{gathered} \iint_{\delta V} f dS = \iiint_V \nabla \cdot f dV \end{gathered}$$

那么我们让$Mf$是引力场的函数(因为后面有密度所以把$M$提出来)则左边形式已经对了,关键是算右边.

一个任意形状的引力场我们不知道怎么写,所以先考虑一个质点的引力场.此时有 $Mf(\vec r)=\dfrac{GM}{|r|^3}\vec r$.

直接硬做:$f_x(r)=\dfrac{M}{s^{\frac32}} x$,其中$s=\sum_x x^2$,则

$$\begin{gathered} \dfrac {df_x}{dx}=GM(s^{-\frac32}-3s^{-\frac52}x^2)=GMs^{-\frac52}(s-3x^2) \\ \implies \nabla\cdot f=\sum_x \dfrac{df_x}{dx} =GMs^{-\frac52}(3s-3\sum_x x^2)=0 \end{gathered}$$

于是你得到除了原点外的散度都为$0$.原点是一个奇点,我还不会狄拉克函数,所以先不管那里.

一个点的现在你明白了,现在考虑一个体积的引力场.

所以你确实可以把每个点的向量场积起来得到物体的引力场.所以左侧右侧同时积分:

$$\begin{gathered} \iint_{S=\delta V}gdS \\ =\iint_{\vec r\in S=\delta V}(\iiint_{\vec x\in A} f_{\vec x} (\vec r)\rho(\vec x)dA)\cdot dS \\ =\iiint_{\vec x\in A}\rho(\vec x)(\iint_{\vec r\in S=\delta V}f_{\vec x} (\vec r)\cdot dS)dA \end{gathered}$$

我们先假装这个交换是比较自然的,那么考虑内层积分就是球一个质点的引力场的引力通量了,那么可以用高斯定理:

$$\begin{gathered} =\iiint_{\vec x\in A}\rho(\vec x)(\iiint_{\vec r\in V-B(\vec x,\delta)} \nabla\cdot f_{\vec x}(\vec r)dV-\iint_{S=\delta B(\vec x,\delta)}f_{\vec x}\cdot dS)dA \\ =\iiint_{\vec x\in A}\rho(\vec x)(-4\pi G)dA \\ =-4\pi MG \end{gathered}$$

这里因为有个奇点,所以你不对整个区域使用高斯定理,而是把原点$\vec x$周围的一个小球体挖掉,减掉内部边界的引力通量就是外边界的.则那个三重体积分我们知道里面的散度都是$0$所以积分完了也是$0$;而另一部分内部小圆的积分,因为对称性所以有引力场垂直于球面,容易知道通量是$4\pi \delta^2 \dfrac{G}{\delta^2}=4\pi G$(注意内部的面符号是反的).

那么第一条,设外部距离球心为$r$的一个点,则取半径为$r$的球面,根据对称性引力通量是$4\pi r^2 g$.而根据高斯定理你知道它是$4\pi MG$,于是得到$g=\dfrac{MG}{r^2}$,就证完了.

对第二条,设内部距离球心为$r$的一个点,仍然取这个球面,考虑其引力通量,你惊喜的发现引力通量只能是$0$,就做完了.