Topo Homework - Week 11

T1

1. (ER) 设 $X$ 为单连通空间, $\alpha, \beta$ 是 $X$ 中有相同起点和终点的道路. 证明 $\alpha \simeq_p \beta$ .

$X$ 为单连通空间,故 $\pi_1(X,\alpha(0))=\{[\alpha]\}$ , $\alpha,\beta\in [\alpha]$ 这一个回路等价类.故 $\alpha \simeq_p \beta$ .

T2

3. (ER) 设 $X$ 为平凡或离散拓扑空间, $x_0 \in X$ , 证明 $\pi_1(X, x_0)$ 是平凡群.

对平凡拓扑空间,对任意两条回路 $\alpha,\beta$ , $H(x,t)=\begin{cases}\alpha(x),t<1\\\beta(x),t=1\end{cases}$ 是合法的路径同伦.故基本群平凡.

对离散拓扑空间, $\alpha:I\to X$ 连续要求 $\alpha$ 为常路径.故基本群只有常路径一个元素,平凡.

T3

4. (ERH) 设 $A \subset X$ , $r: X \to A$ 和 $i: A \to X$ 分别为收缩映射与含入映射, $a \in A$ . 证明 $r_* : \pi_1(X, a) \to \pi_1(A, a)$ 是满同态, $i_* : \pi_1(A, a) \to \pi_1(X, a)$ 是单同态.

$r$ 是满射,故存在 $s$ 满足 $rs=\mathrm{Id}_A$ ,从而 $r_*s_*=\mathrm{Id}_*$ ,从而 $r_*$ 是满射.

$i$ 是单射,故存在 $j$ 满足 $ji=\mathrm{Id}_A$ ,从而 $j_*i_*=\mathrm{Id}_*$ 从而 $i_*$ 是单射.

T4

5. (ERH) 设 $X$ 道路连通, 证明下列说法等价:

(1) $X$ 单连通;

(2) 任意的连续映射 $f: S^1 \to X$ 可以扩张到 $D^2$ (扩张是指: $S^1 = \partial D^2$ , 存在连续映射 $\widetilde{f}: D^2 \to X$ , 使得 $\widetilde{f}|_{\partial D^2=S^1} = f$ ).

若 $X$ 单连通,考虑 $f$ 是确定了 $X$ 上的一个环,任取其上一点 $x_0$ ,把这个环变成 $x_0$ 为基点的回路 $\alpha$ ,则 $H=c_{x_0} \simeq_p \alpha$ ,于是可以构造映射:对 $D^2$ 上任意一点 $d$ ,与 $x_0$ 连线交 $S$ 于令一点 $s$ ,则将其映为 $H(s,(d-x_0)/(s-x_0))$ ,就得到一个 $D^2$ 上的扩张.

反过来,先取定一个基点 $x_0\in S^1$ ,那么任何一个回路 $\alpha$ 都可以扩张到一个 $D^2\to X$ 的映射,从而可以构造 $H(s,t)$ 就是 $S^1$ 上的 $s$ 与 $x_0$ 连线的 $t$ 分点.从而构造了一个 $\alpha\simeq_p c_{x_0}$ 的同伦.于是单连通.

T5

6. (ER) 设 $X$ 道路连通, $x_1, x_2 \in X$ . 证明 $\pi_1(X, x_1)$ 是交换群当且仅当对任意两条连接 $x_1, x_2$ 的道路 $\alpha, \beta$ , 有 $\alpha_\# = \beta_\#$ . (参看定理 5.2.2 上面的定义.)

考虑两条不同的 $x_1\rightsquigarrow x_2$ 的 $\alpha,\beta$ ,则 $\alpha_\#=\beta_\# \iff \forall a,\alpha^{-1} a\alpha\simeq_p\beta^{-1} a\beta \iff a\alpha\beta^{-1}\simeq_p \alpha\beta^{-1}a$ .

从而如果 $\pi_1$ 是交换群,一定有 $\alpha\#=\beta\#$ .

而如果 $\alpha\#=\beta\#$ ,对任意 $\pi_1(X,x_1)$ 中的元素 $a,b$ ,因为 $b\simeq \alpha \alpha^{-1} b$ ,从而可以拆成 $b=\alpha\beta^{-1},\beta=b^{-1}\alpha$ 的形式.,从而 $ab=ba$ , $\pi_1(X,x_1)$ 是交换群.

T6

7. (MR) 设 $f: X \to Y$ 连续, $x_i \in X, y_i \in Y, i=0, 1$ . 设 $\gamma$ 是 $X$ 中一个从 $x_0$ 到 $x_1$ 的道路. 证明下面的同态图表可交换:

\begin{matrix} \pi_1(X, x_0) & \xrightarrow{f_*} & \pi_1(Y, y_0) \\ \gamma_\# \Big\downarrow \quad & & \quad \Big\downarrow (f \circ \gamma)_\# \\ \pi_1(X, x_1) & \xrightarrow{f_*} & \pi_1(Y, y_1) \end{matrix}

对 $\pi_1(X,x_0)$ 中的任意一条道路类 $[\alpha]$ .

走左侧是 $f_*(\gamma_\# [\alpha])=[f(\gamma^{-1} \alpha\gamma)]$ ,走右侧是 $(f\circ \gamma)_\#(f_*([\alpha]))=(f\circ \gamma)^{-1} ([f\circ \alpha]) (f\circ \gamma)=[f(\gamma^{-1}\alpha\gamma)]$ ,从而得证.

T7

8. (ERH) 基本群的等价定义:

满足 $f: S^1 \to X$ , 使得 $f((1, 0)) = x_0$ 的所有 $f$ 组成集合 $A$ . 在 $A$ 上定义等价关系: 对于 $f_1, f_2 \in A$ , 如果存在同伦 $H: S^1 \times [0, 1] \to X$ , 使得 $H(x, 0) = f_1(x)$ , $H(x, 1) = f_2(x)$ , $H((1, 0), t) = x_0, \forall t \in [0, 1]$ , 则称 $f_1, f_2$ 等价, 记为 $f_1 \sim f_2$ . 令 $\pi_1'(X, x_0) = A/\sim$ . 在 $A$ 上定义乘法如下:

f_1f_2((\cos\theta, \sin\theta)) = \begin{cases} f_1((\cos 2\theta, \sin 2\theta)), & \theta \in [0, \pi], \\ f_2((\cos 2\theta, \sin 2\theta)), & \theta \in [\pi, 2\pi]. \end{cases}

证明 $\pi_1'(X, x_0)$ 同构于本节定义的基本群 $\pi_1(X, x_0)$ .

对任意一条 $\pi_1'(X,x_0)$ 的回路 $\alpha:S^1\to X$ ,定义 $\varphi(\alpha):I\to X,\varphi(\alpha)(t)=\alpha(\cos 2\pi t,\sin 2\pi t)$ .

直接代入展开即得 $\varphi(\alpha\beta)(t)=\begin{cases}\alpha(\cos2\pi t,\sin 2\pi t),t<\dfrac12\\\beta(\cos2\pi t,\sin 2\pi t),t\ge \dfrac12\end{cases}=\varphi(\alpha)\varphi(\beta)$ ,是同态.

同时因为只有 $\varphi(s\mapsto x_0)=c_{x_0}$ ,故是单射.因为对任意 $p:I\to X,p(0)=p(1)$ ,令 $\pi$ 为 $I/\{0,1\}$ 的商映射,令 $\alpha(\pi x)=p(x)$ .若 $\pi(x_1)=\pi(x_2),x_1\ne x_2$ ,则一定是 $\{ x_1,x_2 \} =\{ 0,1 \}$ ,从而 $p(x_1)=p(x_2)$ ,而我们知道商映射是满的且像空间的开集一定有开集原像,所以是良定义且连续.而 $\varphi(\alpha)=p$ 所以是满的,所以是同构.