Math Analysis Homework - Sem 2 Week 9

2. 求函数 $f(x, y) = 2x^2 - xy - y^2 - 6x - 3y + 5$ 在点 $(1, -2)$ 的泰勒展开式.

\begin{gathered} f(1,-2)=5 \\ f_x(1,-2)=0 \\ f_y(1,-2)=0 \\ f_{xx}(1,-2)=4 \\ f_{yy}(1,-2)=-2 \\ f_{xy}(1,-2)=-1 \\ f(x,y)=5+\dfrac{1}{2} (4(x-1)^2-2(x-1)(y+2)-2(y+2)^2) \end{gathered}

3. 求下列函数的泰勒展开式: (1) $f(x, y) = \sin(x^2 + y^2)$ 在点 $(0, 0)$ , 直到二阶为止;

\begin{gathered} \sin(x)=x+o(x) \\ f(x,y)=x^2+y^2+o(x^2+y^2 ) \end{gathered}

3. 求下列函数的泰勒展开式: (3) $f(x, y) = \ln(1 + x + y)$ 在点 $(0, 0)$ , 直到 $n$ 阶为止.

\begin{gathered} \ln(1+(x+y))=\sum _{i = 1} ^{n} (-1)^{i-1}\dfrac{(x+y)^i}{i} \\ =\sum _{i = 1} ^{n} \dfrac{(-1)^{i-1}}{i} \sum _{j = 0} ^{i} \binom ijx^jy^{i-j}+o((x^2+y^2)^\frac n2) \end{gathered}

5. 设 $f(x, y) = 3x^2y - x^4 - 2y^2$ . 证明: $(0, 0)$ 不是它的极值点, 但沿过 $(0, 0)$ 点的每条直线, $(0, 0)$ 都是它的极大值点.

对过 $(0,0)$ 的直线 $x=at,y=bt$ ,有

\begin{gathered} f(x,y)=3a^2bt^3-a^4t^4-2b^2t^2 \\ \dfrac{df}{dt} =9a^2bt^2-4a^4t^3-4b^2t \\ =t(-4a^4t^2+9a^2bt-4b^2) \end{gathered}

故 $\dfrac{df}{dt}(0,0)=0$ ,且在原点小邻域内 $\operatorname{sgn}(t(-4a^4t^2+9a^2bt-4b^2))=\operatorname{sgn}(-t)$ ,故为极大值点.

但当 $y=\dfrac{3}{4}x^2$ 时, $f(x,y)=\dfrac{1}{8} x^4$ , $(0,0)$ 是该条抛物线上的极小值.故 $(0,0)$ 的小邻域内同时有比 $(0,0)$ 大/小的,不为极值.

6. 证明函数 $z = f(x, y) = (1 + e^y) \cos x - ye^y$ 有无穷多个极大值, 但无极小值.

\begin{gathered} f_x(x,y)=-\sin(x)(1+e^y) \\ f_y(x,y)=(\cos x-y-1)e^y \\ f_{xx}=-\cos(x)(1+e^y) \\ f_{xy}=-e^y\sin(x) \\ f_{yy}=e^y(\cos x-y-2) \\ \begin{vmatrix} -\cos x(1+e^y)&-e^y\sin x\\-e^y\sin x&e^y(\cos x-y-2) \end{vmatrix} \\ =e^y(-e^{y}-\cos^2 x+(y+2)\cos x+(y+2)e^{y}\cos x) \\ \end{gathered}

对驻点处, $f_x=f_y=0$ ,故 $\sin x=0,\cos x=y+1$ ,于是驻点为 $(2k\pi,0),((2k+1)\pi,-2)$ ,分别代入判别式得:

\begin{gathered} \text{for } (2k\pi,0),-1-1+2+2=2>0 \\ \text{for } ((2k+1)\pi,-2),(-e^y-1)e^y<0 \end{gathered}

故所有 $(2k\pi,0)$ 为极值,因为 $f_{xx}<0$ 所以是极大值,有无穷个;所有 $((2k+1)\pi,-2)$ 为鞍点.无极小值.

8. 求函数 $f(x, y) = x^3 - 3x^2 + 2xy - y^2$ 在 $D = [-3, 3] \times [-1, 1]$ 上的最大值.

对 $D$ 的内部:

\begin{gathered} \begin{cases} f_x=3x^2-6x+2y=0 \\ f_y=2x-2y=0 \end{cases} \implies \begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases},\begin{cases} x=\dfrac{4}{3} \\ y=\dfrac{4}{3} \end{cases} \end{gathered}

则 $f(0,0)=0$ , $(\dfrac{4}{3} ,\dfrac{4}{3} )$ 在区域外舍去.

对 $D$ 的边缘:

$x=3$ 得 $f(3,y)=6y-y^2$ ,最大为 $f(3,1)=5$ .

$x=-3$ 得 $f(-3,y)=-54-6y-y^2<0$ .

$y=1$ 得 $f(x,1)=x^3-3x^2+2x-1$ ,求导得 $3x^2-6x+2$ ,有极大值 $f(1-\dfrac{\sqrt3}3,1)<5$

$y=-1$ 得 $f(x,-1)=x^3-3x^2-2x-1$ , $x>0$ 时小于 $f(x,1)$ , $x<0$ 时 $x^3-3x^2-2x-1<-2x-1<5$

故最大值为 $5$ .

11. 曲面 $z = \frac{1}{2}x^2 - 4xy + 9y^2 + 3x - 14y + \frac{1}{2}$ 在何处有最高点或最低点?

\begin{gathered} \begin{cases} f_x=x-4y+3=0 \\ f_y=18y-4x-14=0 \end{cases} \\ \implies \begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases} \end{gathered} \\ f_{xx}=1,f_{yy}=18,f_{xy}=-4 \\ \begin{vmatrix} 1 &-4\\-4&18 \end{vmatrix}=2>0

则唯一的驻点是 $z(1,1)=-5$ 是极小值.

显然 $x=y$ 时, $\lim_{x \to \infty} z(x,y)=+\infty$ ,无极大值.

注意到

\begin{gathered} z=8(\dfrac x4-y)^2+(y-7)^2+3x+C \\ \ge 7(\dfrac{x}{4} -y)^2+2(\dfrac{x}{8} -\dfrac{7}{2} )^2+3x+C \end{gathered}

由下式知存在 $M$ 使得 $\max(x,y)>M$ 时 $z>0$ ,故 $-5$ 是最小值.