Math Analysis Homework - Term 2 Week 8
T1
6. 设函数 z = z ( x , y ) z = z(x,y) z = z ( x , y ) F ( x + z y − 1 , y + z x − 1 ) = 0 F(x+zy^{-1}, y+zx^{-1}) = 0 F ( x + z y − 1 , y + z x − 1 ) = 0 x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = z − x y . x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = z - xy. x ∂ x ∂ z + y ∂ y ∂ z = z − x y .
d F = F x d x + F y d y + F z d z ⟹ ( F 1 − z x 2 F 2 ) d x + ( F 2 − z y 2 F 1 ) d y + ( F 1 1 y + F 2 1 x ) d z = 0 d x = 0 ⟹ z y = − F 2 − z F 1 y 2 F 1 y + F 2 x d y = 0 ⟹ z x = − F 1 − z F 2 x 2 F 2 x + F 1 y \begin{gathered}
dF=F_xdx+F_ydy+F_zdz
\\
\implies (F_1-\dfrac{z}{x^2} F_2)dx+(F_2-\dfrac{z}{y^2} F_1)dy+(F_1\dfrac{1}{y} +F_2\dfrac{1}{x})dz=0 \\
dx=0 \implies z_y=-\dfrac{F_2-\dfrac{zF_1}{y^2} }{\dfrac{F_1}{y} +\dfrac{F_2}{x} } \\
dy=0 \implies z_x=-\dfrac{F_1-\dfrac{zF_2}{x^2} }{\dfrac{F_2}{x} +\dfrac{F_1}{y} }
\end{gathered} d F = F x d x + F y d y + F z d z ⟹ ( F 1 − x 2 z F 2 ) d x + ( F 2 − y 2 z F 1 ) d y + ( F 1 y 1 + F 2 x 1 ) d z = 0 d x = 0 ⟹ z y = − y F 1 + x F 2 F 2 − y 2 z F 1 d y = 0 ⟹ z x = − x F 2 + y F 1 F 1 − x 2 z F 2 代入化简得z − x y = x z x + y z y z-xy=xz_x+yz_y z − x y = x z x + y z y
T2
7. 设函数 z = z ( x , y ) z = z(x,y) z = z ( x , y ) x z = φ ( y z ) \frac{x}{z} = \varphi\left(\frac{y}{z}\right) z x = φ ( z y ) φ \varphi φ ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ 2 z ∂ y 2 = ( ∂ 2 z ∂ x ∂ y ) 2 . \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \left(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right)^2. ∂ x 2 ∂ 2 z ∂ y 2 ∂ 2 z = ( ∂ x ∂ y ∂ 2 z ) 2 .
F ( x , y , z ) = φ ( y z ) − x z = 0 F z = − φ ′ ( y z ) y z 2 + x z 2 z x = − F x F z = 1 z F z , z y = − F y F z = − φ ′ ( y z ) z F z ⟹ x z x + y z y = x − y φ ′ ( y z ) z F z = z ⟹ { z x + x z x x + y z y x = z x x z x y + z y + y z y y = z y ⟹ { x z x x = − y z x y y z y y = − x z x y [ z x x z x y z x y z y y ] [ x y ] = 0 ⟹ det [ z x x z x y z x y z y y ] = z x x z y y − z x y 2 = 0 \begin{gathered}
F(x,y,z)=\varphi(\dfrac{y}{z} )-\dfrac{x}{z} =0 \\
F_z=-\varphi'(\dfrac{y}{z} )\dfrac{y}{z^2}+\dfrac{x}{z^2} \\
z_x=-\dfrac{F_x}{F_z} = \dfrac{1}{zF_z},z_y=\dfrac{-F_y}{F_z} =\dfrac{-\varphi'(\dfrac yz)}{zF_z} \\
\implies xz_x+yz_y=\dfrac{x-y\varphi'(\dfrac{y}{z})}{zF_z} =z \\
\implies \begin{cases}
z_x+xz_{xx}+yz_{yx}=z_x \\
xz_{xy}+z_y+yz_{yy}=z_y
\end{cases} \\
\implies \begin{cases}
xz_{xx}=-yz_{xy} \\
yz_{yy}=-xz_{xy}
\end{cases} \\
\begin{bmatrix} z_{xx} &z_{xy}\\z_{xy}&z_{yy} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} =0 \\
\implies \det \begin{bmatrix} z_{xx} &z_{xy}\\z_{xy}&z_{yy} \end{bmatrix} \\
=z_{xx}z_{yy}-z_{xy}^2=0
\end{gathered} F ( x , y , z ) = φ ( z y ) − z x = 0 F z = − φ ′ ( z y ) z 2 y + z 2 x z x = − F z F x = z F z 1 , z y = F z − F y = z F z − φ ′ ( z y ) ⟹ x z x + y z y = z F z x − y φ ′ ( z y ) = z ⟹ { z x + x z xx + y z y x = z x x z x y + z y + y z y y = z y ⟹ { x z xx = − y z x y y z y y = − x z x y [ z xx z x y z x y z y y ] [ x y ] = 0 ⟹ det [ z xx z x y z x y z y y ] = z xx z y y − z x y 2 = 0
T3
8. 设方程 F ( x + y + z , x 2 + y 2 + z 2 ) = 0 F(x+y+z, x^2+y^2+z^2) = 0 F ( x + y + z , x 2 + y 2 + z 2 ) = 0 z = z ( x , y ) z = z(x,y) z = z ( x , y ) F F F ∂ 2 z ∂ x ∂ y \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} ∂ x ∂ y ∂ 2 z
F ( x + y + z , x 2 + y 2 + z 2 ) = 0 z x = − − F x F z = − F 1 + 2 x F 2 F 1 + 2 z F 2 z y = − F 1 + 2 y F 2 F 1 + 2 z F 2 ( F 1 + 2 z F 2 ) 2 z x y = − ( F 1 + 2 z F 2 ) ( F 11 ( 1 + z y ) + F 12 ( 2 y + 2 z z y ) + 2 x F 21 ( 1 + z y ) + 2 x F 22 ( 2 y + 2 z z y ) ) + ( F 1 + 2 x F 2 ) ( F 11 ( 1 + z y ) + F 12 ( 2 y + 2 z z y ) + 2 z y F 2 + 2 z F 21 ( 1 + z y ) + 2 z F 22 ( 2 y + 2 z z y ) ) \begin{gathered}
F(x+y+z,x^2+y^2+z^2)=0 \\
z_x=-\dfrac{-F_x}{F_z} =-\dfrac{F_1+2xF_2}{F_1+2zF_2} \\
z_y=-\dfrac{F_1+2yF_2}{F_1+2zF_2} \\
(F_1+2zF_2)^2z_{xy}=-(F_1+2zF_2)(F_{11}(1+z_y)+F_{12}(2y+2zz_y)+ \\
2xF_{21}(1+z_y)+2xF_{22}(2y+2zz_y)) \\
+(F_1+2xF_2)(F_{11}(1+z_y)+F_{12}(2y+2zz_y)+ \\
2z_yF_2+2zF_{21}(1+z_y)+2zF_{22}(2y+2zz_y))
\end{gathered} F ( x + y + z , x 2 + y 2 + z 2 ) = 0 z x = − F z − F x = − F 1 + 2 z F 2 F 1 + 2 x F 2 z y = − F 1 + 2 z F 2 F 1 + 2 y F 2 ( F 1 + 2 z F 2 ) 2 z x y = − ( F 1 + 2 z F 2 ) ( F 11 ( 1 + z y ) + F 12 ( 2 y + 2 z z y ) + 2 x F 21 ( 1 + z y ) + 2 x F 22 ( 2 y + 2 z z y )) + ( F 1 + 2 x F 2 ) ( F 11 ( 1 + z y ) + F 12 ( 2 y + 2 z z y ) + 2 z y F 2 + 2 z F 21 ( 1 + z y ) + 2 z F 22 ( 2 y + 2 z z y )) 经过漫长的展开化简
z x y = − 4 ( z − x ) ( z − y ) ( F 11 F 2 2 − 2 F 12 F 1 F 2 + F 22 F 1 2 ) + 2 F 2 ( F 1 + 2 x F 2 ) ( F 1 + 2 y F 2 ) ( F 1 + 2 z F 2 ) 3 \begin{gathered}
z_{xy} = -\frac{4(z-x)(z-y)(F_{11}F_2^2 - 2F_{12}F_1F_2 + F_{22}F_1^2) + 2F_2(F_1+2xF_2)(F_1+2yF_2)}{(F_1+2zF_2)^3}
\end{gathered} z x y = − ( F 1 + 2 z F 2 ) 3 4 ( z − x ) ( z − y ) ( F 11 F 2 2 − 2 F 12 F 1 F 2 + F 22 F 1 2 ) + 2 F 2 ( F 1 + 2 x F 2 ) ( F 1 + 2 y F 2 )
T4
10. 求下列方程组所确定隐函数的导数或偏导数:
(1) { z = x 2 + y 2 , x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 20 , \begin{cases} z = x^2 + y^2, \\ x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 20, \end{cases} { z = x 2 + y 2 , x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 20 , d y d x , d z d x \frac{dy}{dx}, \frac{dz}{dx} d x d y , d x d z
{ z x = 2 x + 2 y y x 2 x + 4 y y x + 6 z z x = 20 ⟹ { z x = x 1 + 3 z y x = − x ( 1 + 6 z ) 2 y ( 1 + 3 z ) \begin{gathered}
\begin{cases}
z_x=2x+2yy_x \\
2x+4yy_x+6zz_x=20
\end{cases}
\implies \begin{cases}
z_x=\dfrac{x}{1+3z} \\
y_x=-\dfrac{x(1+6z)}{2y(1+3z)}
\end{cases}
\end{gathered} { z x = 2 x + 2 y y x 2 x + 4 y y x + 6 z z x = 20 ⟹ ⎩ ⎨ ⎧ z x = 1 + 3 z x y x = − 2 y ( 1 + 3 z ) x ( 1 + 6 z )
T5
10. 求下列方程组所确定隐函数的导数或偏导数:
(2) { u = f ( u x , v + y ) , v = g ( u − x , v 2 y ) , \begin{cases} u = f(ux, v+y), \\ v = g(u-x, v^2y), \end{cases} { u = f ( ux , v + y ) , v = g ( u − x , v 2 y ) , f , g f,g f , g ∂ u ∂ x , ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x} ∂ x ∂ u , ∂ x ∂ v
{ u x = ( x u x + u ) f 1 + v x f 2 v x = ( u x − 1 ) g 1 + ( 2 y v v x ) g 2 ⟹ { u x = − f 2 g 1 + 2 y v g 2 f 1 u − f 1 u 2 x y v f 1 g 2 − x f 1 − 2 y v g 2 + 1 − f 2 g 1 v x = x f 1 g 1 − g 1 + f 1 g 1 u 2 x y v f 1 g 2 − x f 1 − 2 y v g 2 + 1 − f 2 g 1 \begin{gathered}
\begin{cases}
u_x= (xu_x+u)f_1+v_xf_2 \\
v_x=(u_x-1)g_1+(2yvv_x)g_2
\end{cases} \\
\implies \begin{cases}
u_x=-\dfrac{f_2g_1+2yvg_2f_1u-f_1u}{2xyvf_1g_2-xf_1-2yvg_2+1-f_2g_1} \\
v_x=\dfrac{xf_1g_1-g_1+f_1g_1u}{2xyvf_1g_2-xf_1-2yvg_2+1-f_2g_1}
\end{cases}
\end{gathered} { u x = ( x u x + u ) f 1 + v x f 2 v x = ( u x − 1 ) g 1 + ( 2 y v v x ) g 2 ⟹ ⎩ ⎨ ⎧ u x = − 2 x y v f 1 g 2 − x f 1 − 2 y v g 2 + 1 − f 2 g 1 f 2 g 1 + 2 y v g 2 f 1 u − f 1 u v x = 2 x y v f 1 g 2 − x f 1 − 2 y v g 2 + 1 − f 2 g 1 x f 1 g 1 − g 1 + f 1 g 1 u
T6
11. 设 y = f ( x , t ) y = f(x,t) y = f ( x , t ) t t t F ( x , y , t ) = 0 F(x,y,t) = 0 F ( x , y , t ) = 0 x , y x,y x , y f , F f,F f , F d y d x \frac{dy}{dx} d x d y
{ y = f ( x , t ) F ( x , y , t ) = 0 ⟹ { y x = f 1 + f 2 t x F 1 + F 2 y x + F 3 t x = 0 ⟹ y x = F 3 f 1 − F 1 f 2 F 3 + F 2 f 2 \begin{gathered}
\begin{cases}
y=f(x,t) \\
F(x,y,t)=0
\end{cases} \\
\implies \begin{cases}
y_x=f_1+f_2t_x \\
F_1+F_2y_x+F_3t_x=0
\end{cases} \\
\implies y_x=\dfrac{F_3f_1-F_1f_2}{F_3+F_2f_2}
\end{gathered} { y = f ( x , t ) F ( x , y , t ) = 0 ⟹ { y x = f 1 + f 2 t x F 1 + F 2 y x + F 3 t x = 0 ⟹ y x = F 3 + F 2 f 2 F 3 f 1 − F 1 f 2
T7
12. 设 u = f ( x , y , z ) , φ ( x 2 , e y , z ) = 0 , y = sin x u = f(x,y,z), \varphi(x^2, e^y, z) = 0, y = \sin x u = f ( x , y , z ) , φ ( x 2 , e y , z ) = 0 , y = sin x f , φ f,\varphi f , φ ∂ φ ∂ z ≠ 0 \frac{\partial \varphi}{\partial z} \neq 0 ∂ z ∂ φ = 0 d u d x \frac{du}{dx} d x d u
{ u = f ( x , y , z ) φ ( x 2 , e y , z ) = 0 y = sin x ⟹ { u x = f 1 + f 2 y x + f 3 z x 2 x φ 1 + e y y x φ 2 + z x φ 3 = 0 y x = cos x ⟹ u x = f 1 + f 2 cos x − 2 x φ 1 + e y cos x φ 2 φ 3 f 3 \begin{gathered}
\begin{cases}
u=f(x,y,z) \\
\varphi(x^2,e^y,z)=0 \\
y=\sin x
\end{cases} \\
\implies \begin{cases}
u_x=f_1+f_2y_x+f_3z_x \\
2x\varphi_1+e^yy_x\varphi_2+z_x\varphi_3=0 \\
y_x=\cos x
\end{cases} \\
\implies u_x=f_1+f_2\cos x-\dfrac{2x\varphi_1+e^y\cos x\varphi_2}{\varphi_3}f_3
\end{gathered} ⎩ ⎨ ⎧ u = f ( x , y , z ) φ ( x 2 , e y , z ) = 0 y = sin x ⟹ ⎩ ⎨ ⎧ u x = f 1 + f 2 y x + f 3 z x 2 x φ 1 + e y y x φ 2 + z x φ 3 = 0 y x = cos x ⟹ u x = f 1 + f 2 cos x − φ 3 2 x φ 1 + e y cos x φ 2 f 3
T8
13. 设函数 z = f ( x , y ) z = f(x,y) z = f ( x , y ) ∂ z ∂ y ≠ 0 \frac{\partial z}{\partial y} \neq 0 ∂ y ∂ z = 0 C , f ( x , y ) = C C, f(x,y) = C C , f ( x , y ) = C ( z y ) 2 z x x − 2 z x z y z x y + ( z x ) 2 z y y = 0. (z_y)^2 z_{xx} - 2z_x z_y z_{xy} + (z_x)^2 z_{yy} = 0. ( z y ) 2 z xx − 2 z x z y z x y + ( z x ) 2 z y y = 0.
因为z y = f y ≠ 0 z_y=f_y\ne 0 z y = f y = 0 F ( x , y , C ) = f ( x , y ) − C = 0 , F 2 = f 2 ≠ 0 F(x,y,C)=f(x,y)-C=0,F_2=f_2\ne 0 F ( x , y , C ) = f ( x , y ) − C = 0 , F 2 = f 2 = 0 F ( x , y , C ) F(x,y,C) F ( x , y , C ) y y y x , C x,C x , C y ( C , z ) y(C,z) y ( C , z )
题目原式实际为:
( f 2 ) 2 f 11 − 2 f 1 f 2 f 12 + ( f 1 ) 2 f 22 = 0 \begin{gathered}
(f_2)^2 f_{11} - 2f_1 f_2 f_{12} + (f_1)^2 f_{22} = 0
\end{gathered} ( f 2 ) 2 f 11 − 2 f 1 f 2 f 12 + ( f 1 ) 2 f 22 = 0 考虑
y x = − F 2 F 1 = − f 1 f 2 y x x = − ( f 11 + f 12 y x ) f 2 − f 1 ( f 21 + f 22 y x ) f 2 2 = − 1 f 2 2 ( f 11 f 2 − f 1 f 12 − f 1 f 21 + f 2 2 f 1 f 2 ) = − 1 f 2 3 ( f 11 f 2 2 − 2 f 1 f 2 f 12 + f 1 2 f 22 ) \begin{gathered}
y_x=-\dfrac{F_2}{F_1} \\
=-\dfrac{f_1}{f_2} \\
y_{xx}=-\dfrac{(f_{11}+f_{12}y_x)f_2-f_1(f_{21}+f_{22}y_x)}{f_2^2} \\
=-\dfrac{1}{f_2^2} (f_{11}f_2-f_1f_{12}-f_1f_{21}+\dfrac{f_22f_1}{f_2} ) \\
=-\dfrac{1}{f_2^3} (f_{11}f_2^2-2f_1f_2f_{12}+f_1^2f_{22})
\end{gathered} y x = − F 1 F 2 = − f 2 f 1 y xx = − f 2 2 ( f 11 + f 12 y x ) f 2 − f 1 ( f 21 + f 22 y x ) = − f 2 2 1 ( f 11 f 2 − f 1 f 12 − f 1 f 21 + f 2 f 2 2 f 1 ) = − f 2 3 1 ( f 11 f 2 2 − 2 f 1 f 2 f 12 + f 1 2 f 22 ) 故原式为0 0 0 y x x = 0 y_{xx}=0 y xx = 0
T9
4. 在曲线 x = t , y = t 2 , z = t 3 x=t, y=t^2, z=t^3 x = t , y = t 2 , z = t 3 x + 2 y + z = 4 x+2y+z=4 x + 2 y + z = 4
平面法向量为[ 1 , 2 , 1 ] [1,2,1] [ 1 , 2 , 1 ] [ 1 , 2 t , 3 t 2 ] [1,2t,3t^2] [ 1 , 2 t , 3 t 2 ]
[ 1 , 2 , 1 ] ⋅ [ 1 , 2 t , 3 t 2 ] = 0 ⟹ t = − 1 , − 1 3 \begin{gathered}
[1,2,1]\cdot [1,2t,3t^2]=0 \\
\implies t=-1,-\dfrac13
\end{gathered} [ 1 , 2 , 1 ] ⋅ [ 1 , 2 t , 3 t 2 ] = 0 ⟹ t = − 1 , − 3 1 故点为[ − 1 , 1 , − 1 ] [-1,1,-1] [ − 1 , 1 , − 1 ] [ − 1 3 , 1 9 , − 1 27 ] [-\dfrac13,\dfrac19,-\dfrac1{27}] [ − 3 1 , 9 1 , − 27 1 ]
T10
5. 求函数 u = x x 2 + y 2 + z 2 u = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} u = x 2 + y 2 + z 2 x M ( 1 , 2 , − 2 ) M(1,2,-2) M ( 1 , 2 , − 2 ) x = t , y = 2 t 2 , z = − 2 t 4 x=t, y=2t^2, z=-2t^4 x = t , y = 2 t 2 , z = − 2 t 4
切线方向向量v = [ 1 , 4 t , − 8 t 3 ] ∣ t = 1 = [ 1 , 4 , − 8 ] v=[1,4t,-8t^3]|_{t=1}=[1,4,-8] v = [ 1 , 4 t , − 8 t 3 ] ∣ t = 1 = [ 1 , 4 , − 8 ]
1 ∥ v ∥ u ( 1 + t , 2 + 4 t , − 2 − 8 t ) ′ ∣ t = 0 = 1 ∥ v ∥ ( u x + 4 u y − 8 u z ) ∣ t = 0 = − 16 27 ⋅ ∥ v ∥ = − 16 243 \begin{gathered}
\dfrac{1}{\|v\|} u(1+t,2+4t,-2-8t)'|_{t=0} \\
=\dfrac{1}{\|v\|} (u_x+4u_y-8u_z)|_{t=0} \\
=-\dfrac{16}{27} \cdot \|v\| \\
=-\dfrac{16}{243}
\end{gathered} ∥ v ∥ 1 u ( 1 + t , 2 + 4 t , − 2 − 8 t ) ′ ∣ t = 0 = ∥ v ∥ 1 ( u x + 4 u y − 8 u z ) ∣ t = 0 = − 27 16 ⋅ ∥ v ∥ = − 243 16
T11
7. 设 f ( u , v ) f(u,v) f ( u , v ) f ( a x − b z , a y − c z ) = 0 f(ax-bz, ay-cz) = 0 f ( a x − b z , a y − cz ) = 0 a , b , c a,b,c a , b , c
设F ( x , y , z ) = f ( a x − b z , a y − c z ) F(x,y,z)=f(ax-bz,ay-cz) F ( x , y , z ) = f ( a x − b z , a y − cz )
n ⃗ = ∇ F = [ f 1 a , f 2 a , − b f 1 − c f 2 ] \begin{gathered}
\vec n=\nabla F=[f_1a,f_2a,-bf_1-cf_2]
\end{gathered} n = ∇ F = [ f 1 a , f 2 a , − b f 1 − c f 2 ] 故
n ⃗ ⋅ [ b , c , a ] = 0 \begin{gathered}
\vec n\cdot [b,c,a]=0
\end{gathered} n ⋅ [ b , c , a ] = 0 故切面与直线{ t ( b , c , a ) ∣ t ∈ R } \{ t(b,c,a)|t\in R \} { t ( b , c , a ) ∣ t ∈ R }
T12
8. 设函数 f ( u , v ) f(u,v) f ( u , v ) f ( y − b x − a , z − c x − a ) = 0 f\left(\frac{y-b}{x-a}, \frac{z-c}{x-a}\right) = 0 f ( x − a y − b , x − a z − c ) = 0
let F ( x , y , z ) = f ( y − b x − a , z − c x − a ) n ⃗ = ∇ F = [ − f 1 ( y − b ) + f 2 ( z − c ) ( x − a ) 2 , f 1 x − a , f 2 x − a ] n ⃗ ⋅ ( ( a , b , c ) − ( x , y , z ) ) = − f 1 ( y − b ) + f 2 ( z − c ) ( x − a ) 2 ( a − x ) + f 1 x − a ( b − y ) + f 2 x − a ( c − z ) = 0 \begin{gathered}
\text{let } F(x,y,z)=f(\dfrac{y-b}{x-a} ,\dfrac{z-c}{x-a} ) \\
\vec n=\nabla F=[-\dfrac{f_1(y-b)+f_2(z-c)}{(x-a)^2},\dfrac{f_1}{x-a} ,\dfrac{f_2}{x-a} ] \\
\vec n\cdot ((a,b,c)-(x,y,z)) \\
=-\dfrac{f_1(y-b)+f_2(z-c)}{(x-a)^2} (a-x)+\dfrac{f_1}{x-a} (b-y)+\dfrac{f_2}{x-a} (c-z) \\
=0
\end{gathered} let F ( x , y , z ) = f ( x − a y − b , x − a z − c ) n = ∇ F = [ − ( x − a ) 2 f 1 ( y − b ) + f 2 ( z − c ) , x − a f 1 , x − a f 2 ] n ⋅ (( a , b , c ) − ( x , y , z )) = − ( x − a ) 2 f 1 ( y − b ) + f 2 ( z − c ) ( a − x ) + x − a f 1 ( b − y ) + x − a f 2 ( c − z ) = 0 故横过( a , b , c ) (a,b,c) ( a , b , c )
T13
9. 求曲面 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21 x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 21 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21 x + 4 y + 6 z = 0 x+4y+6z=0 x + 4 y + 6 z = 0
平面x + 4 y + 6 z = 0 x+4y+6z=0 x + 4 y + 6 z = 0 [ 1 , 4 , 6 ] [1,4,6] [ 1 , 4 , 6 ] [ 2 x , 4 y , 6 z ] [2x,4y,6z] [ 2 x , 4 y , 6 z ]
{ 2 x = k 4 y = 4 k 6 z = 6 k x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21 ⟹ { k = 2 x = 1 y = 2 z = 2 , { k = − 2 x = − 1 y = − 2 z = − 2 \begin{gathered}
\begin{cases}
2x=k \\
4y=4k \\
6z=6k \\
x^2+2y^2+3z^2=21
\end{cases} \\
\implies \begin{cases}
k=2 \\
x=1 \\
y=2 \\
z=2
\end{cases}
,\begin{cases}
k=-2 \\
x=-1 \\
y=-2 \\
z=-2
\end{cases}
\end{gathered} ⎩ ⎨ ⎧ 2 x = k 4 y = 4 k 6 z = 6 k x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21 ⟹ ⎩ ⎨ ⎧ k = 2 x = 1 y = 2 z = 2 , ⎩ ⎨ ⎧ k = − 2 x = − 1 y = − 2 z = − 2 代入得两个平面分别为x + 4 y + 6 z = ± 21 x+4y+6z=\pm 21 x + 4 y + 6 z = ± 21
T14
10. 证明: 曲面 x y z = a 3 ( a > 0 ) xyz = a^3 (a>0) x y z = a 3 ( a > 0 ) 9 2 a 3 \frac{9}{2} a^3 2 9 a 3
任取一点其切平面显然是
( p ⃗ − [ x , y , z ] ) ⋅ [ y z , x z , x y ] = 0 ⟺ p ⃗ ⋅ [ y z , x z , x y ] = 3 x y z = 3 a 3 \begin{gathered}
(\vec p-[x,y,z])\cdot [yz,xz,xy]=0 \\
\iff \vec p\cdot [yz,xz,xy]=3xyz=3a^3
\end{gathered} ( p − [ x , y , z ]) ⋅ [ y z , x z , x y ] = 0 ⟺ p ⋅ [ y z , x z , x y ] = 3 x y z = 3 a 3 显然该平面上存在点( 3 x , 0 , 0 ) , ( 0 , 3 y , 0 ) , ( 0 , 0 , 3 z ) (3x,0,0),(0,3y,0),(0,0,3z) ( 3 x , 0 , 0 ) , ( 0 , 3 y , 0 ) , ( 0 , 0 , 3 z ) ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) ( 0 , 0 , 0 )
故体积为
1 3 ( 1 2 3 x ⋅ 3 z ) 3 z = 29 2 x y z = 29 2 a 3 \begin{gathered}
\dfrac{1}{3} (\dfrac{1}{2} 3x\cdot 3z) 3z \\
=\dfrac{29}{2} xyz \\
=\dfrac{29}{2} a^3
\end{gathered} 3 1 ( 2 1 3 x ⋅ 3 z ) 3 z = 2 29 x y z = 2 29 a 3