Topo Homework - Week 6

T1

7. (ERH) 设 $A$ 为度量空间 $(X, d)$ 的紧致子集.

(1) $A$ 的直径定义为 $D(A) = \sup\{d(x, y) \mid x, y \in A\}$ , 证明存在 $x, y \in A$ , 使得 $D(A) = d(x, y)$ ;
(2) 设 $x \in X, x \notin A$ , 证明存在 $y \in A$ , 使得 $d(x, A) = d(x, y)$ ;
(3) 设 $B$ 是 $X$ 的闭集, $B \cap A = \emptyset$ . 证明 $d(A, B) > 0$ .

(1):

设 $f_A(x)=\sup_y\{d(x,y)|y\in A\}$ .因为 $A$ 是紧集, $d(x,y)$ 固定 $x$ 后是关于 $y$ 的连续函数把紧集映成 $R$ 上紧集,故此时 $f_A(x)=\max_y\{d(x,y)|y\in A\}$ .

又容易看出 $f_A(x)$ 连续(存在 $x$ 的邻域 $B(x,\delta)$ , $\forall y,x'\in U$ , $d(x',y)<d(x,y)+d(x,x')<d(x,y)+\delta$ ,从而 $f(B(x,\delta))\subset B(f(x),\epsilon)$ ).于是 $f_A(A)$ 紧,存在 $x,D(A)=f_A(x)$ ,故都取的到.

(2):

设 $g_A(x)=\inf_y\{d(x,y)|y\in A\}$ ,把上一问第一段的内容里 $\sup$ 换成 $\inf$ 即证.

(3):

\begin{gathered} d(A,B)=\inf_A g_B(x) \end{gathered}

因为 $A\cap B=\varnothing$ ,故 $\forall x\in A,x\in X-B,\exists x\in B(x,\epsilon)\subset X-B$ ,故 $g_B(x)>0$ .又因为连续,所以外部这个 $\inf$ 必然在某个 $y\in A$ 处取到,即 $\exists y,d(A,B)=f(y)>0$ .

T2

8. (ERH) 给出 $\mathbb{R}^2$ 的一个没有勒贝格数的开覆盖的例子.

$R$ 都有,何必 $R^2$ .

设调和级数列 $H_n=\sum_{i=1}^n \dfrac1i$ .取开覆盖

\begin{gathered} O=\{ (-(H_{n+1}+\dfrac1n),-(H_n-\dfrac1n))\cup ((H_n-\dfrac1n),(H_{n+1}+\dfrac1n)) |n\in N^*\} \cup \{(-1,1)\} \end{gathered}

显然 $x\to \infty$ 时其所在区间长度趋近于 $0$ ,没有勒贝格数.

T3

10. (MRH) 给出下列空间的一点紧致化的同胚空间的几何描述:

(1) $(0, 1) \cup (2, 3)$ ;
(2) 平环 $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 1 < x^2 + y^2 < 2\}$ ;
(3) 不含顶点的正方形块 $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x, y \in [-1, 1], |xy| < 1\}$ ;
(4) 带状区域 $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \in [0, 1]\}$ .

(1):

两个分别一点紧化都是 $S^1$ ,然后粘起来是 $S^1\wedge S^1$ .

(2):

香蕉,再把两边的端点重合.

(3):

把这四个顶点粘合成一个

(4):

$S^1\times [-1,1]/\{\{0\}\times [-1,1]\}$

T4

1. (ER) 尝试找出 $X = \{a, b, c, d\}$ 的两个拓扑, 其中一个连通, 另一个不连通.

平凡拓扑连通.离散拓扑不连通.

\begin{gathered} \{ \{ a,b \} ,\{ c,d \} ,\varnothing,X \} \text{ is disconnected} \\ \{ \{ a,b,c,d \} ,\{ a,b,c \} ,\{ a,b \} ,\{ a \} ,\varnothing,X \} \text{ is connected} \end{gathered}

T5

2. (ERH) 设 $\{C_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ 为拓扑空间 $X$ 的一族连通子集, 满足对每个 $j \ge 1$ , $C_j \cap C_{j+1} \neq \emptyset$ . 证明 $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} C_n$ 也是 $X$ 的连通子集.

假设 $U=\bigcup_n C_n$ 不连通,则存在开集 $A,B$ 满足 $A\cap B\cap U=\varnothing,U\subset A\cup B,(A\cap U)\ne \varnothing,(B\cap U)\ne \varnothing$ .

那么对每个 $C_n$ 都有 $C_n\subset A\lor C_n\subset B$ .不妨设 $C_1\subset A$ ,则若 $C_i\subset A$ ,则若 $C_{i+1}\subset B$ 则 $C_{i+1}\cap C_i=\varnothing$ 矛盾,于是 $C_{i+1}\subset A$ ,于是 $\forall n,C_n\subset A$ ,与 $B\cap U\ne \varnothing$ 矛盾.

于是连通.

T6

3. (ERH) 证明:

(1) $\mathbb{R}^2$ 中所有至少有一个坐标是有理数的点构成的集合 $A$ 连通;
(2) $\mathbb{R}^2$ 中所有第二个坐标为有理数的点构成的集合 $B$ 不连通.

(1):

对任意两个满足这个条件的点 $(x,y),(a,b)$ .

若是相同的维度上是有理数,不妨设是第一维,则 $f(t)=(x,ty+(1-t)b)$ 是一条道路.

若不同维度上是有理数,不妨设 $x\in Q,b\in Q$ ,则两个点都用上面的方法与 $(x,b)$ 连通.所以他道路连通,所以它连通.

(2):

$R\times (-\infty,\sqrt 2)\cap Q$ 和 $R\times (\sqrt 2,\infty)\cap Q$ 是满足不连通判定条件的两个集合.

T7

5. (E) 在 $\mathbb{R}$ 上, $\mathcal{B} = \{(-a, a) \mid a \in \mathbb{R}, a \ge 0\}$ 是一个拓扑基, 证明它所生成的拓扑空间是连通的.

只需证不存在一个非空真子开集既开又闭.

但你开集一定包含 $0$ ,闭集一定不包含 $0$ ,所以一定不存在.于是连通.

T8

9. (MR) 设 $A$ 和 $B$ 是 $X$ 的两个连通的子集, $A \cap \text{Cl}(B) \neq \emptyset$ , 证明 $A \cup B$ 也是连通的.

反证,假设可以被 $U\cap V=\varnothing$ 两个闭集分开.则因为 $A,B$ 连通,不妨设 $A\subset U,B\subset V$ .

那么 $B\subset V \implies \operatorname{Cl}B\subset V \implies U\cap V=\varnothing$ ,矛盾.得证.

T9

10. (MRH) 设 $A$ 和 $B$ 都是 $X$ 的开子集 (或者闭子集), 它们的并集和交集都是连通的, 证明 $A$ 和 $B$ 也都是连通的.

假设 $A$ 不连通, $A=U\cup V,U\cap V=\varnothing,U,V$ 是开集.

则 $A\cap B=(U\cap B)\cup (V\cap B)$ 连通,于是必有 $U\cap B=\varnothing$ 或 $V\cap B=\varnothing$ ,不妨设 $U\cap B=\varnothing$ .

则 $A\cup B=U\cup (V\cup B)$ , $U$ 和 $V\cup B$ 是一个满足不连通判定条件的分割.与 $A\cup B$ 连通矛盾.得证.