Not T2:

• $\{\varnothing,X, \{ a \} ,\{ a,b \} ,\{ a,b,c \} \}$
• $\{\varnothing,X, \{ a,b,c,d \} \}$

T2:

• 离散拓扑

T2是拓扑性质:若存在连续双射$f:X\to Y$是同胚,则$X$中的开集/闭集与$Y$中的一一对应,所以$T_i$均为拓扑性质.因此T2的一定与其他的不同胚.

对非T2的两个,开集数量不同,肯定没法双射.不同胚.

若$(X,_X),Y$为T2可分空间,则考虑$\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in X\times Y$,则因为$X$是T2可分的,所以 $\exists x_1\in U_1,x_2\in U_2,U_1,U_2 \text{ is open},U_1\cap U_2=\varnothing$.同理存在$y_1\in V_1,y_2\in V_2,V_1,V_2 \text{ is open},V_1\cap V_2=\varnothing$.于是$(x_1,y_1)\in (U_1\times V_1),(x_2,y_2)\in (U_2\times V_2)$满足条件,乘积空间T2可分.

$A=X-C,B=Y-D$,则$C\times D\cup C\times Y\cup X\times D$是开集,于是$A\times B=X\times Y-(C\times D\cup C\times Y\cup X\times D)$是闭集.

若$n=2k$是偶数,则$Z-\{n\}=\bigcup_{i\ne k} \{2i-1,2i,2i+1\}$为开集,所以$\{n\}$是闭集.

若$n=2k+1$不为奇数,假设$\{n\}$是闭集,则$A=Z-\{n\}$是开集,所以存在$i$使得$n+1\in \{2i-1,2i,2i+1\}\subset A$或$n+1\in {2i+1}\subset A$.因为$n+1$是偶数所以第二种不可能只能是第一种,则$i=k+1$,则其包含$n$,矛盾,所以$\{n\}$不是闭集.

$R-[a,b)=(-\infty,a)\cup [b,\infty)=\bigcup_i [a-i,a)\cup \bigcup_i [b,b+i)$为开集,故$[a,b)$是闭集.