Topo Homework - Week 1

T1

5. (ER) 在三点集 $X = \{a,b,c\}$ 上, 平凡拓扑有两个开集, 离散拓扑有八个开集. 对于 $n = 3,4,5,6,7$ 中的每一个数, 找出 $X$ 上由 $n$ 个开集组成的拓扑, 或证明这样的拓扑不存在.

3: $\{ \varnothing,X,\{ a \}\}$
4: $\{ \varnothing,X,\{ a \} ,\{ a,b \}\}$
5: $\{ \varnothing,X,\{ a \} ,\{ b \} ,\{ a,b \} \}$
6: $\{ \varnothing,X,\{ a \} ,\{ b \} ,\{ a,b \} ,\{ a,c \} \}$

对于 $n=7$ ,容易验证删掉任何一个开集都不构成拓扑.

T2

6. (ER) 在 $\mathbb{R}$ 上定义一个拓扑 $\mathcal{T}$ (通过列出其中的开集), 使得 $(0, 2), (1, 3) \in \mathcal{T}$ , 并且 $\mathcal{T}$ 包含尽可能少的开集.

\begin{gathered} \{ \varnothing,{\mathbb R},(0,2),(1,3),(1,2),(0,3) \} \end{gathered}

T3

9. (MR) 确定下列哪些子集是直线 $\mathbb{R}$ 的下极限拓扑 $\mathbb{R}_l$ 的开集, 并证明之:

\begin{gathered} A = [1,2), \\ B = \{3\}, \\ C = [4,5], \\ D = (6,7), \\ E = (8,9]. \end{gathered}

$A$ 显然是.

设 $U$ 是 ${\mathbb R}_l$ 的开集,则 $U=\bigcup_i [a_i,b_i)$ ,设 $B=\sup b_i$ ,则一定有 $B\notin U,B=\sup U$ .故排除 $B,C,E$ .

$D$ 是: $D=\bigcup_{n\in Z} [6+\dfrac1n,7)$

T4

10. (ER) 设 $X$ 是拓扑空间, $U \subset X$ 是开集, $F \subset X$ 是闭集. 证明 $U - F$ 是开集, $F - U$ 是闭集.

$U-F=U\cap (X-F)$ 是两个开集的交,是开集.

$F-U=F\cap (X-U)$ 是两个闭集的交,是闭集.

T5

14. (ER) 设 $\mathbb{Q} = \{q \in \mathbb{R} \mid q \text{ 为有理数}\}$ . 证明 $\{(a, b) \mid a, b \in \mathbb{Q}, a < b\}$ 是通常直线拓扑的一个基.

显然 $\forall x,x\in (\lfloor x-1 \rfloor ,\lfloor x+1 \rfloor )$ .

又有

\begin{gathered} \forall U \text{ is open },U\subset R,x\in U \\ \exists x\in(l,r)\subset U \\ \end{gathered}

则令 $a$ 为 $(l,x)$ 中的某有理数, $b$ 为 $(x,r)$ 中的某有理数,有 $x\in (a,b)\subset (l,r)$

于是它与开区间基生成相同的拓扑.

T6

15. (DRH) 设 $A \subset \mathbb{R}$ . 若 $A$ 含有每一个形如 $\{a, a+b, \cdots, a+(n-1)b\}$ 的子集, 其中 $b \neq 0$ , 则称 $A$ 包含一个长度为 $n$ 的算术级数. 考虑正整数集 $\mathbb{N}_+$ 的一个子集 $F$ 的如下性质: $\exists n \in \mathbb{N}_+$ , 使得 $F$ 不包含长度为 $n$ 的算术级数. 证明: 存在 $\mathbb{N}_+$ 上的一个拓扑, 使得有上面性质的 $\mathbb{N}_+$ 的子集和 $\mathbb{N}_+$ 本身能构成这个拓扑的一个闭子集族.

注在求解上面问题的过程中, 可能需要用到组合数学的范德瓦尔登 (van der Waerden) 定理: $\forall n \in \mathbb{N}_+$ , 存在 $N \in \mathbb{N}_+$ , 使得对于 $\{1,2,\cdots,N\}$ 的每一个子集 $A$ , $A$ 与 $\{1,2,\cdots,N\} \setminus A$ 这两个集合中至少有一个含有长度为 $n$ 的算术级数.

考虑直接定义满足性质的集合的补集是开集,或者说直接定义满足性质的集合是闭集.则只需要验证闭集的三条公里:

显然空集和全集成立.

对无限交,若 $F_1$ 存在 $n$ 使得 $F_1$ 不含长度为 $n$ 的算数级数,则任意 $\bigcap F_i\subset F_1$ 也不含长度为 $n$ 的算术级数,仍未闭集.

对有限并,考虑反证,如果 $F_1\cup F_2$ 含有任意长度的算术级数,则任意选定 $n$ ,一定存在 $N$ 满足题述定理.而 $F_1\cup F_2$ 中可以找到 $\{c_n=a+bn\}$ 长度不小于 $N$ ,那么设 $c_n$ 中 $F_i$ 元素的下标的集合是 $S_i$ ,则 $S_1,\{1\ldots N\}-S_1$ 中至少有一个有长 $n$ 的算术级数,也就是说 $S_1,S_2$ 中至少有一个包含长 $n$ 的算数级数,设为 $\{p_n\}$ ,则 $c_{p_n}$ 一定是 $F_1$ 或 $F_2$ 中的算数级数,与 $F_1,F_2$ 是闭集矛盾.故 $F_1\cup F_2$ 不含任意长的算数级数.

于是得证.

T7

证明 $f$ 是单射时等号成立:

(1) $f(\bigcap_{\lambda} A_{\lambda}) \subset \bigcap_{\lambda} f(A_{\lambda})$ If $f$ is injective, then " $=$ " holds.

(2) $f(f^{-1}(B)) \subset B$ If $f$ is surjective, then " $=$ " holds.

(3) $f^{-1}(f(A)) \supset A$ If $f$ is injective, then " $=$ " holds.

(1):

\begin{gathered} \forall x\in f(\bigcap_\lambda A_\lambda),\forall A_\lambda,\exists a\in A_\lambda \ s.t.\ f(a)=x,x\in f(A_\lambda) \\ \implies f(\bigcap_\lambda A_\lambda)\subset \bigcap_\lambda f(A_\lambda) \\ \text{if } f \text{ is injective:} \\ \forall x\in \bigcap_\lambda f(A_\lambda) \\ \exists! a \ s.t.\ f(a)=x \\ \implies\forall \lambda, a\in A_\lambda \\ \implies x\in f(\bigcap_\lambda A_\lambda) \\ \end{gathered}

相互包含所以取等.

(2):

\begin{gathered} \forall b \in f(f^{-1}(B)), \\ \exists x\in f^{-1}(B) \ s.t.\ f(x)=b \\ \therefore b \in B \\ \text{if } f \text{ is surjective:} \\ \forall b\in B \\ \exists x\in f^{-1}(b)\subset f^{-1}(B),f(x)=b \\ \implies b\in f(f^{-1}(B)) \end{gathered}

相互包含所以取等.

(3):

\begin{gathered} \forall a\in A ,a\in f^{-1}(f(a)) \\ \text{if } f \text{ is injective:} \\ \forall a \in f^{-1}(f(A)) \\ \exists b\in A,f(b)=f(a) \\ \xRightarrow{\text{ f is injection }} b=a,a\in A \end{gathered}

相互包含所以取等