Math Analysis Homework - Sem 2 Week 6
T1
2. (2) lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 − 1 \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1} lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 + 1 − 1 x 2 + y 2
存在
令t = x 2 + y 2 t=x^2+y^2 t = x 2 + y 2 ( x , y ) → ( 0 , 0 ) (x,y)\to (0,0) ( x , y ) → ( 0 , 0 ) t → 0 t\to 0 t → 0
lim t → 0 t t + 1 − 1 = 2 \lim_{t \to 0} \dfrac{t}{\sqrt{t+1}-1}=2 t → 0 lim t + 1 − 1 t = 2
T2
2. (4) lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y x 2 − y 2 x 2 + y 2 \lim_{(x,y)\to(0,0)} xy \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y x 2 + y 2 x 2 − y 2
0 ≤ lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ∣ x y x 2 − y 2 x 2 + y 2 ∣ ≤ lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ∣ x y ∣ ∣ x 2 − y 2 x 2 + y 2 ∣ ≤ lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ∣ x y ∣ = 0 \begin{gathered}
0\le \lim_{(x,y) \to (0,0)} |xy \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}| \\
\le \lim_{(x,y) \to (0,0)} |xy| |\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} | \\
\le \lim_{(x,y) \to (0,0)} |xy| \\
=0
\end{gathered} 0 ≤ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) lim ∣ x y x 2 + y 2 x 2 − y 2 ∣ ≤ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) lim ∣ x y ∣∣ x 2 + y 2 x 2 − y 2 ∣ ≤ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) lim ∣ x y ∣ = 0 由夹逼定理,原式极限为0 0 0
T3
2. (6) lim x → ∞ y → ∞ x + y x 2 − x y + y 2 \lim_{\substack{x \to \infty \\ y \to \infty}} \frac{x+y}{x^2-xy+y^2} lim x → ∞ y → ∞ x 2 − x y + y 2 x + y
lim x → ∞ y → ∞ x + y x 2 − x y + y 2 ≤ lim x → ∞ y → ∞ ∣ x + y ∣ ∣ x y ∣ = lim x → ∞ y → ∞ ∣ 1 x ∣ + ∣ 1 y ∣ = 0 \begin{gathered}
\lim_{\substack{x \to \infty \\ y \to \infty}} \frac{x+y}{x^2-xy+y^2} \\
\le \lim_{\substack{x \to \infty \\ y \to \infty}} \dfrac{|x+y|}{|xy|} \\
=\lim_{\substack{x \to \infty \\ y \to \infty}} |\dfrac{1}{x}| +|\dfrac{1}{y}| \\
=0
\end{gathered} x → ∞ y → ∞ lim x 2 − x y + y 2 x + y ≤ x → ∞ y → ∞ lim ∣ x y ∣ ∣ x + y ∣ = x → ∞ y → ∞ lim ∣ x 1 ∣ + ∣ y 1 ∣ = 0
T4
判断( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
3. (1) f ( x , y ) = 3 x − 2 y 2 x − 3 y ( y ≠ 2 x 3 ) f(x,y) = \frac{3x-2y}{2x-3y} \quad \left(y \neq \frac{2x}{3}\right) f ( x , y ) = 2 x − 3 y 3 x − 2 y ( y = 3 2 x )
f ( x , y ) = 2 3 + 5 3 x 2 x − 3 y let y = k x ⟹ lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) f ( x , y ) = 2 3 + lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) 5 3 x ( 2 − 3 k ) x = 2 3 + 5 3 1 2 − 3 k \begin{gathered}
f(x,y)=\dfrac 23+\dfrac{5}{3} \dfrac{x}{2x-3y} \\
\text{let } y=kx \\
\implies \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) \\
=\dfrac{2}{3} +\lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{5}{3} \dfrac{x}{(2-3k)x} \\
=\dfrac{2}{3} +\dfrac{5}{3} \dfrac{1}{2-3k}
\end{gathered} f ( x , y ) = 3 2 + 3 5 2 x − 3 y x let y = k x ⟹ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) lim f ( x , y ) = 3 2 + ( x , y ) → ( 0 , 0 ) lim 3 5 ( 2 − 3 k ) x x = 3 2 + 3 5 2 − 3 k 1 与k k k
T5
判断( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
3. (3) f ( x , y ) = x 2 y x 4 + y 2 f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2} f ( x , y ) = x 4 + y 2 x 2 y
y = x 2 y=x^2 y = x 2
lim x → 0 x 4 2 x 4 = 1 2 \begin{gathered}
\lim_{x \to 0} \dfrac{x^4}{2x^4} =\dfrac{1}{2}
\end{gathered} x → 0 lim 2 x 4 x 4 = 2 1 y = x y=x y = x
lim x → 0 x 3 x 4 + x 2 = 0 ≠ 1 2 \begin{gathered}
\lim_{x \to 0} \dfrac{x^3}{x^4+x^2} =0\ne \dfrac{1}{2}
\end{gathered} x → 0 lim x 4 + x 2 x 3 = 0 = 2 1 不存在.
T6
计算函数的两个累次极限
4. (1) f ( x , y ) = x 2 − y 2 + x 3 + y 3 x 2 + y 2 ( x → 0 , y → 0 ) f(x,y) = \frac{x^2-y^2+x^3+y^3}{x^2+y^2} \quad (x \to 0, y \to 0) f ( x , y ) = x 2 + y 2 x 2 − y 2 + x 3 + y 3 ( x → 0 , y → 0 )
lim x → 0 lim y → 0 f ( x , y ) = lim x → 0 x 2 + x 3 x 2 = 1 lim y → 0 lim x → 0 f ( x , y ) = lim y → 0 − y 2 + y 3 y 2 = − 1 \begin{gathered}
\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x,y) \\
=\lim_{x \to 0} \dfrac{x^2+x^3}{x^2} \\
=1 \\
\lim_{y\to 0} \lim_{x \to 0} f(x,y) \\
=\lim_{y \to 0} \dfrac{-y^2+y^3}{y^2} \\
=-1
\end{gathered} x → 0 lim y → 0 lim f ( x , y ) = x → 0 lim x 2 x 2 + x 3 = 1 y → 0 lim x → 0 lim f ( x , y ) = y → 0 lim y 2 − y 2 + y 3 = − 1
T7
计算函数的两个累次极限
4. (3) f ( x , y ) = x y 1 + x y ( x → + ∞ , y → 0 + ) f(x,y) = \frac{x^y}{1+x^y} \quad (x \to +\infty, y \to 0^+) f ( x , y ) = 1 + x y x y ( x → + ∞ , y → 0 + )
lim x → + ∞ lim y → 0 + f ( x , y ) = lim x → + ∞ 1 2 = 1 2 lim y → 0 + lim x → + ∞ f ( x , y ) = lim y → 0 + 1 = 1 \begin{gathered}
\lim_{x \to +\infty} \lim_{y \to 0^+} f(x,y) \\
=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{2} \\
=\dfrac{1}{2} \\
\lim_{y \to 0^+} \lim_{x \to +\infty} f(x,y) \\
=\lim_{y \to 0^+} 1 \\
=1
\end{gathered} x → + ∞ lim y → 0 + lim f ( x , y ) = x → + ∞ lim 2 1 = 2 1 y → 0 + lim x → + ∞ lim f ( x , y ) = y → 0 + lim 1 = 1
T8
5. 设二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) D : [ a , b ] × [ c , d ] D: [a,b] \times [c,d] D : [ a , b ] × [ c , d ] ∀ P ′ ∈ D , lim P → P ′ P ∈ D f ( P ) \forall P' \in D, \lim_{\substack{P \to P' \\ P \in D}} f(P) ∀ P ′ ∈ D , lim P → P ′ P ∈ D f ( P ) f f f D D D
反证,假设f f f p n p_n p n f ( p n ) > n f(p_n)>n f ( p n ) > n
由于D D D k n k_n k n p k n p_{k_n} p k n p 0 p_0 p 0
则
lim n → ∞ f ( x k n ) = lim p → p 0 f ( p ) = A exists \begin{gathered}
\lim_{n \to \infty} f(x_{k_n}) \\
=\lim_{p \to p_0} f(p) = A\text{ exists}
\end{gathered} n → ∞ lim f ( x k n ) = p → p 0 lim f ( p ) = A exists 但 lim n → ∞ f ( p k n ) = lim n → ∞ f ( p n ) = + ∞ \lim_{n \to \infty} f(p_{k_n})=\lim_{n \to \infty} f(p_n)=+\infty lim n → ∞ f ( p k n ) = lim n → ∞ f ( p n ) = + ∞ f f f
T9
讨论下列函数的连续性.
1. (1) f ( x , y ) = 1 x 2 + y 2 f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} f ( x , y ) = x 2 + y 2 1
∀ ( x 0 , y 0 ) ≠ ( 0 , 0 ) lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = 1 x 0 2 + y 0 2 = f ( x 0 , y 0 ) ⟹ f ( x , y ) ∈ C ( R 2 − { 0 } ) \begin{gathered}
\forall (x_0,y_0)\ne (0,0) \\
\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{ x_0^2+y_0^2 } } =f(x_0,y_0) \\
\implies f(x,y)\in C(R^2-\{ 0 \})
\end{gathered} ∀ ( x 0 , y 0 ) = ( 0 , 0 ) ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) lim f ( x , y ) = x 0 2 + y 0 2 1 = f ( x 0 , y 0 ) ⟹ f ( x , y ) ∈ C ( R 2 − { 0 })
T10
讨论下列函数的连续性.
1. (3) f ( x , y ) = [ x + y ] f(x,y) = [x+y] f ( x , y ) = [ x + y ]
∀ ( x 0 , y 0 ) s . t . x 0 + y 0 ∉ Z ∀ ϵ > 0 let m = min ( x 0 + y 0 − [ x 0 + y 0 ] , [ x 0 + y 0 + 1 ] − x 0 − y 0 ) ∀ ( x , y ) ∈ B ( ( x 0 , y 0 ) , m 2 ) x + y ∈ ( [ x 0 + y 0 ] , [ x 0 + y 0 + 1 ] ) ⟹ f ( x , y ) = [ x 0 + y 0 ] else if x 0 + y 0 ∈ Z lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) , y = y 0 + x 0 − x f ( x , y ) = f ( x 0 + y 0 ) lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) , y = y 0 + x − x 0 f ( x , y ) = [ 2 x − x 0 + y 0 ] = [ x 0 + y 0 ] + 1 ≠ f ( x 0 , y 0 ) \begin{gathered}
\forall (x_0,y_0) \ s.t.\
x_0+y_0\notin Z \\
\forall \epsilon>0 \\
\text{let } m=\min(x_0+y_0-[x_0+y_0],[x_0+y_0+1]-x_0-y_0) \\
\forall (x,y)\in B((x_0,y_0),\dfrac m2) \\
x+y\in ([x_0+y_0],[x_0+y_0+1]) \\
\implies f(x,y)=[x_0+y_0] \\
\text{else if } x_0+y_0\in Z \\
\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0),y=y_0+x_0-x} f(x,y)=f(x_0+y_0) \\
\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0),y=y_0+x-x_0} f(x,y)=[2x-x_0+y_0]=[x_0+y_0]+1\ne f(x_0,y_0) \\
\end{gathered} ∀ ( x 0 , y 0 ) s . t . x 0 + y 0 ∈ / Z ∀ ϵ > 0 let m = min ( x 0 + y 0 − [ x 0 + y 0 ] , [ x 0 + y 0 + 1 ] − x 0 − y 0 ) ∀ ( x , y ) ∈ B (( x 0 , y 0 ) , 2 m ) x + y ∈ ([ x 0 + y 0 ] , [ x 0 + y 0 + 1 ]) ⟹ f ( x , y ) = [ x 0 + y 0 ] else if x 0 + y 0 ∈ Z ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) , y = y 0 + x 0 − x lim f ( x , y ) = f ( x 0 + y 0 ) ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) , y = y 0 + x − x 0 lim f ( x , y ) = [ 2 x − x 0 + y 0 ] = [ x 0 + y 0 ] + 1 = f ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) x + y ∉ Z x+y\notin Z x + y ∈ / Z x + y ∈ Z x+y\in Z x + y ∈ Z
T11
讨论下列函数的连续性.
1. (5) f ( x , y ) = { sin x y y , y ≠ 0 , 0 , y = 0 f(x,y) = \begin{cases} \frac{\sin xy}{y}, & y \neq 0, \\ 0, & y = 0 \end{cases} f ( x , y ) = { y s i n x y , 0 , y = 0 , y = 0
∀ ( x 0 , y 0 ) , y 0 ≠ 0 : lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) else if y 0 = 0 : lim ( x , y ) → ( x 0 , 0 ) f ( x , y ) = sin ( x y ) y = x \begin{gathered}
\forall (x_0,y_0),y_0\ne 0: \\
\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)= f(x_0,y_0) \\
\text{else if } y_0=0: \\
\lim_{(x,y) \to (x_0,0)} f(x,y)=\dfrac{\sin (xy)}{y} =x \\
\end{gathered} ∀ ( x 0 , y 0 ) , y 0 = 0 : ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) lim f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) else if y 0 = 0 : ( x , y ) → ( x 0 , 0 ) lim f ( x , y ) = y sin ( x y ) = x 故f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) R 2 − { ( x , y ) ∣ x ≠ 0 , y = 0 } R^2-\{(x,y)|x\ne 0,y=0\} R 2 − {( x , y ) ∣ x = 0 , y = 0 } { ( x , y ) ∣ x ≠ 0 , y = 0 } \{(x,y)|x\ne 0,y= 0\} {( x , y ) ∣ x = 0 , y = 0 }
T12
3. 设常数 p > 0 p > 0 p > 0 f ( x , y ) = { x ( x 2 + y 2 ) p , x 2 + y 2 ≠ 0 , 0 , x 2 + y 2 = 0 f(x,y) = \begin{cases} \frac{x}{(x^2+y^2)^p}, & x^2+y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2+y^2 = 0 \end{cases} f ( x , y ) = { ( x 2 + y 2 ) p x , 0 , x 2 + y 2 = 0 , x 2 + y 2 = 0 f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
从x = 0 x=0 x = 0 0 0 0
p > 1 2 p> \dfrac12 p > 2 1 x = y x=y x = y
lim x → 0 x 2 p x 2 p = 1 2 p x 1 − 2 p = ∞ \begin{gathered}
\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{2^p x^{2p}} =\dfrac1{2^p}x^{1-2p}=\infty
\end{gathered} x → 0 lim 2 p x 2 p x = 2 p 1 x 1 − 2 p = ∞ 极限甚至不存在.
p = 1 2 p=\dfrac12 p = 2 1 x = y x=y x = y 1 2 p ≠ 0 \dfrac1{2^p}\ne 0 2 p 1 = 0
y < 1 2 y<\dfrac12 y < 2 1
lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ∣ f ( x , y ) ∣ = lim r → 0 ∣ r cos ( θ ( r ) ) r 2 p ∣ = lim r → 0 ∣ cos ( θ ( r ) ) r 1 − 2 p ∣ ≤ lim r → 0 ∣ r 1 − 2 p ∣ = 0 \begin{gathered}
\lim_{(x,y) \to (0,0)} |f(x,y)|= \\
\lim_{r\to 0} |\dfrac{r\cos(\theta(r))}{r^{2p}}| = \\
\lim_{r\to 0} |\cos(\theta(r))r^{1-2p}| \le \\
\lim_{r\to 0} |r^{1-2p}|=0
\end{gathered} ( x , y ) → ( 0 , 0 ) lim ∣ f ( x , y ) ∣ = r → 0 lim ∣ r 2 p r cos ( θ ( r )) ∣ = r → 0 lim ∣ cos ( θ ( r )) r 1 − 2 p ∣ ≤ r → 0 lim ∣ r 1 − 2 p ∣ = 0 故p < 1 2 p<\dfrac12 p < 2 1 p ≥ 1 2 p\ge \dfrac12 p ≥ 2 1
T13
4. (2) lim ( x , y ) → ( 0 , a ) sin x y x ( a ≠ 0 ) \lim_{(x,y)\to(0,a)} \frac{\sin xy}{x} \quad (a \neq 0) lim ( x , y ) → ( 0 , a ) x s i n x y ( a = 0 )
lim x → 0 sin x x = 1 ⟹ ∀ ϵ > 0 , ∃ δ ∈ ( 0 , min ( 1 , ϵ ) ) s . t . x < δ ⟹ sin x ∈ ( 1 − ϵ x , 1 + ϵ x ) ⟹ ∀ x < δ , ∣ y − a ∣ < δ , sin ( x y ) ∈ ( ( 1 − ϵ ) x y , ( 1 + ϵ ) x y ) ⟹ sin x y x ∈ ( ( 1 − ϵ ) ( a − δ ) , ( 1 + ϵ ) ( a + δ ) ) \begin{gathered}
\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} =1 \\
\implies \forall \epsilon>0,\exists \delta \in (0,\min(1,\epsilon)) \ s.t.\
x<\delta \implies \sin x\in (1-\epsilon x,1+\epsilon x) \\
\implies \forall x<\delta,|y-a|<\delta ,\sin(xy)\in ((1-\epsilon)xy,(1+\epsilon)xy) \\
\implies \dfrac{\sin xy}{x} \in ((1-\epsilon)(a-\delta),(1+\epsilon)(a+\delta))
\end{gathered} x → 0 lim x sin x = 1 ⟹ ∀ ϵ > 0 , ∃ δ ∈ ( 0 , min ( 1 , ϵ )) s . t . x < δ ⟹ sin x ∈ ( 1 − ϵ x , 1 + ϵ x ) ⟹ ∀ x < δ , ∣ y − a ∣ < δ , sin ( x y ) ∈ (( 1 − ϵ ) x y , ( 1 + ϵ ) x y ) ⟹ x sin x y ∈ (( 1 − ϵ ) ( a − δ ) , ( 1 + ϵ ) ( a + δ )) 由夹逼原理,( x , y ) → ( 0 , a ) (x,y)\to (0,a) ( x , y ) → ( 0 , a ) ϵ , δ → 0 \epsilon,\delta\to 0 ϵ , δ → 0 lim ( x , y ) → ( 0 , a ) sin x y x = a \lim_{(x,y)\to (0,a)} \dfrac{\sin xy}x=a lim ( x , y ) → ( 0 , a ) x sin x y = a
T14
4. (4) lim x → + ∞ y → a ( x + y x ) x + y y ( a ≠ 0 ) \lim_{\substack{x \to +\infty \\ y \to a}} \left( \frac{x+y}{x} \right)^{\frac{x+y}{y}} \quad (a \neq 0) lim x → + ∞ y → a ( x x + y ) y x + y ( a = 0 )
取ln \ln ln
lim x → + ∞ y → a L ( x , y ) = lim x → + ∞ y → a x + y y ln x + y x when x > 1 δ 0 , ∣ y − a ∣ < δ 0 x + y x = 1 + y x ∈ ( 1 , 1 + δ 0 ( a + δ 0 ) ) x + y y > 1 + 1 δ 0 ( a + δ 0 ) Since lim x → 1 ln x x − 1 = 1 , ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 , s . t . ∀ x < δ , ln x ∈ ( ( 1 − ϵ ) ( x − 1 ) , ( 1 + ϵ ) ( x − 1 ) ) let δ 0 < min ( δ 2 a , ϵ ) , δ 0 ( a + δ 0 ) < δ L ( x , y ) ∈ ( x + y y ( 1 − ϵ ) y x , x + y y ( 1 + ϵ ) y x ) ⟺ L ( x , y ) ∈ ( ( 1 − ϵ ) ( 1 + y x ) , ( 1 + ϵ ) ( 1 + y x ) ) ⟹ L ( x , y ) ∈ ( ( 1 − ϵ ) ( 1 + δ 0 ( a − δ 0 ) ) , ( 1 + ϵ ) ( 1 + δ 0 ( a + δ 0 ) ) ) \begin{gathered}
\lim_{\substack{x \to +\infty \\ y \to a}} L(x,y)=\lim_{\substack{x \to +\infty \\ y \to a}}\dfrac{x+y}{y} \ln \dfrac{x+y}{x} \\
\text{when } x>\dfrac1\delta_0,|y-a|<\delta_0 \\
\dfrac{x+y}{x} =1+\dfrac yx\in (1,1+\delta_0 (a+\delta_0)) \\
\dfrac{x+y}{y} >1+\dfrac{1}{\delta_0(a+\delta_0)} \\
\text{Since } \lim_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{x-1}=1, \\
\forall \epsilon>0,\exists \delta>0, \ s.t.\
\forall x<\delta,\ln x\in ((1-\epsilon)(x-1),(1+\epsilon)(x-1)) \\
\text{let } \delta_0<\min(\dfrac{\delta}{2a},\epsilon) ,\delta_0(a+\delta_0)<\delta \\
L(x,y)\in (\dfrac{x+y}{y} (1-\epsilon)\dfrac{y}{x} ,\dfrac{x+y}{y} (1+\epsilon)\dfrac{y}{x} ) \\
\iff L(x,y)\in ((1-\epsilon)(1+\dfrac{y}{x} ),(1+\epsilon)(1+\dfrac{y}{x})) \\
\implies L(x,y)\in ((1-\epsilon)(1+\delta_0(a-\delta_0)),(1+\epsilon)(1+\delta_0(a+\delta_0)))
\end{gathered} x → + ∞ y → a lim L ( x , y ) = x → + ∞ y → a lim y x + y ln x x + y when x > δ 1 0 , ∣ y − a ∣ < δ 0 x x + y = 1 + x y ∈ ( 1 , 1 + δ 0 ( a + δ 0 )) y x + y > 1 + δ 0 ( a + δ 0 ) 1 Since x → 1 lim x − 1 ln x = 1 , ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 , s . t . ∀ x < δ , ln x ∈ (( 1 − ϵ ) ( x − 1 ) , ( 1 + ϵ ) ( x − 1 )) let δ 0 < min ( 2 a δ , ϵ ) , δ 0 ( a + δ 0 ) < δ L ( x , y ) ∈ ( y x + y ( 1 − ϵ ) x y , y x + y ( 1 + ϵ ) x y ) ⟺ L ( x , y ) ∈ (( 1 − ϵ ) ( 1 + x y ) , ( 1 + ϵ ) ( 1 + x y )) ⟹ L ( x , y ) ∈ (( 1 − ϵ ) ( 1 + δ 0 ( a − δ 0 )) , ( 1 + ϵ ) ( 1 + δ 0 ( a + δ 0 ))) 令ϵ → 0 , δ 0 → 0 \epsilon\to 0,\delta_0\to 0 ϵ → 0 , δ 0 → 0 x → + ∞ , y → a x\to +\infty,y\to a x → + ∞ , y → a L ( x , y ) → 1 L(x,y)\to 1 L ( x , y ) → 1 e e e
T15
5.
(1) 设 f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} f ( x , y ) = x 2 + y 2 f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) R 2 \mathbb{R}^2 R 2
(2) 设 f ( x , y ) = 1 1 − x y f(x,y) = \frac{1}{1-xy} f ( x , y ) = 1 − x y 1 f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) D : [ 0 , 1 ) × [ 0 , 1 ) D: [0,1) \times [0,1) D : [ 0 , 1 ) × [ 0 , 1 )
(1):
∣ x 1 2 + y 1 2 − x 2 2 + y 2 2 ∣ = ∣ x 1 2 + y 1 2 − x 2 2 − y 2 2 x 1 2 + y 1 2 + x 2 2 + y 2 2 ∣ = ∣ ( x 1 − x 2 ) ( x 1 + x 2 ) x 1 2 + y 1 2 + x 2 2 + y 2 2 ∣ + ∣ ( y 1 − y 2 ) ( y 1 + y 2 ) x 1 2 + y 1 2 + x 2 2 + y 2 2 ∣ ≤ ∣ x 1 − x 2 ∣ + ∣ y 1 − y 2 ∣ ≤ 2 ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 = 2 δ so ∀ ϵ > 0 , let δ = ϵ 2 ⟹ ∣ ( x 1 , y 1 ) − ( x 2 , y 2 ) ∣ < δ ⟹ ∣ f ( x 1 , y 1 ) − f ( x 2 , y 2 ) ∣ < ϵ \begin{gathered}
|\sqrt{ x_1^2+y_1^2 } -\sqrt{x_2^2+y_2^2}| \\
=|\dfrac{x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2}{\sqrt{ x_1^2+y_1^2 } +\sqrt{x_2^2+y_2^2}}| \\
=|(x_1-x_2)\dfrac{(x_1+x_2)}{\sqrt{ x_1^2+y_1^2 } +\sqrt{x_2^2+y_2^2}}| \\
+|(y_1-y_2)\dfrac{(y_1+y_2)}{\sqrt{ x_1^2+y_1^2 } +\sqrt{x_2^2+y_2^2}}| \\
\le |x_1-x_2|+|y_1-y_2| \\
\le 2\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \\
=2\delta \\
\text{so } \forall \epsilon>0,\text{let } \delta=\dfrac\epsilon 2 \\
\implies |(x_1,y_1)-(x_2,y_2)|<\delta \implies |f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|<\epsilon
\end{gathered} ∣ x 1 2 + y 1 2 − x 2 2 + y 2 2 ∣ = ∣ x 1 2 + y 1 2 + x 2 2 + y 2 2 x 1 2 + y 1 2 − x 2 2 − y 2 2 ∣ = ∣ ( x 1 − x 2 ) x 1 2 + y 1 2 + x 2 2 + y 2 2 ( x 1 + x 2 ) ∣ + ∣ ( y 1 − y 2 ) x 1 2 + y 1 2 + x 2 2 + y 2 2 ( y 1 + y 2 ) ∣ ≤ ∣ x 1 − x 2 ∣ + ∣ y 1 − y 2 ∣ ≤ 2 ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 = 2 δ so ∀ ϵ > 0 , let δ = 2 ϵ ⟹ ∣ ( x 1 , y 1 ) − ( x 2 , y 2 ) ∣ < δ ⟹ ∣ f ( x 1 , y 1 ) − f ( x 2 , y 2 ) ∣ < ϵ (2):
若它一致连续,则其在{ ( x , y ) ∈ D ∣ x = y } ⊂ D \{(x,y)\in D|x=y\}\subset D {( x , y ) ∈ D ∣ x = y } ⊂ D y = 1 1 − x 2 y=\dfrac 1{1-x^2} y = 1 − x 2 1
但令x n = 1 − 1 n , y n = 1 − 1 n + 1 x_n=\sqrt{1-\dfrac1n},y_n=\sqrt{1-\dfrac1{n+1}} x n = 1 − n 1 , y n = 1 − n + 1 1
lim n → ∞ ∣ x n − y n ∣ = lim n → ∞ 1 − 1 n − 1 − 1 n + 1 = lim n → ∞ 1 n − 1 n + 1 1 − 1 n + 1 − 1 n + 1 = 0 \begin{gathered}
\lim_{n \to \infty} |x_n-y_n| \\
=\lim_{n \to \infty} \sqrt{1-\dfrac1n}-\sqrt{1-\dfrac1{n+1}} \\
=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac1n-\dfrac1{n+1}}{\sqrt{1-\dfrac1n}+\sqrt{1-\dfrac1{n+1}}} \\
=0
\end{gathered} n → ∞ lim ∣ x n − y n ∣ = n → ∞ lim 1 − n 1 − 1 − n + 1 1 = n → ∞ lim 1 − n 1 + 1 − n + 1 1 n 1 − n + 1 1 = 0 但
lim n → ∞ ∣ f ( x n ) − f ( y n ) ∣ = lim n → ∞ ( n + 1 ) − n = 1 \begin{gathered}
\lim_{n \to \infty} |f(x_n)-f(y_n)| \\
=\lim_{n \to \infty} (n+1)-n=1
\end{gathered} n → ∞ lim ∣ f ( x n ) − f ( y n ) ∣ = n → ∞ lim ( n + 1 ) − n = 1 与一致连续矛盾.故不一致连续.