Math Analysis Homework - Week 13

Class 1

T1

1. 判断下列级数的敛散性, 绝对收敛还是条件收敛?

(2) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n \ln n}$ ;

$\dfrac{1}{n\ln n}$ 递减,莱布尼茨判别法知收敛

\begin{gathered} \int_1^\infty \dfrac{1}{x\ln x} dx=\int_1^\infty \dfrac{1}{x} dx =\infty \end{gathered}

条件收敛

T2

1. 判断下列级数的敛散性, 绝对收敛还是条件收敛?

(4) $\sum_{n=1}^{\infty} \sin(\pi \sqrt{n^2+1})$ ;

\begin{gathered} \sqrt{n^2+1}-n=\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}+n} \text{ is decreasing} \\ \implies \sin(\pi \sqrt{n^2+1})=\sin(\pi (\sqrt{n^2+1}-n))(-1)^n \end{gathered}

于是由莱布尼茨判别法收敛.

\begin{gathered} \sum_{n=1}^\infty {\left \vert \sin(\pi\sqrt{n^2+1}) \right \vert} \\ =\sum_{n=1}^\infty \sin \dfrac{1}{\sqrt{ n^2+1 } +n} \\ \sim \sum _{n=1} ^\infty \dfrac{1}{n+\sqrt{n^2}+1} \\ \sim \sum \dfrac{1}{n} \end{gathered}

发散.

于是条件收敛.

T3

1. 判断下列级数的敛散性, 绝对收敛还是条件收敛?

(6) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^p \sqrt[n]{n}} \quad (p \in \mathbb{R})$ ;

$p\le 0$ :发散.

$p>0$ :

\begin{gathered} \ln (x^{p+\frac1n})'=((p+\dfrac{1}{n} )\ln x)' \\ =\dfrac{np+1-\ln n}{n^2} \end{gathered}

$n$ 足够大时 $n^{p+\frac1n}$ 递增,整体递减,莱布尼茨判别法知收敛

对数判别法:

\begin{gathered} \dfrac{\ln n^p \sqrt[ n ]{ n } }{\ln n} =p+\dfrac{1}{n} \to p \end{gathered}

于是 $p\in (0,1)$ 条件收敛, $p\in (1,\infty)$ 绝对收敛.

$p=1$ 时代入由比较法知条件收敛.

T4

1. 判断下列级数的敛散性, 绝对收敛还是条件收敛?

(8) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\cos(nx)}{2^n}$ ;

其绝对值小于 $2^{-n}$ ,绝对收敛.

T5

1. 判断下列级数的敛散性, 绝对收敛还是条件收敛?

(10) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^{p+\frac{1}{n}}} \quad (p \in \mathbb{R})$ ;

$p\le 0$ 发散.

由迪利克雷判别法, $p>0$ 时 $\sin n$ 求和有界, $n$ 足够大时 $n^{p+\frac1n}$ 递增,知收敛.

由比较法极限形式, $p\in (0,1]$ 条件收敛, $p\in (1,\infty)$ 绝对收敛

T6

1. 判断下列级数的敛散性, 绝对收敛还是条件收敛?

(12) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^p + \sin n} \quad (p \in \mathbb{R})$ .

$p\le 0$ :显然发散.

$p>0$ :

\begin{gathered} a_n=\dfrac{\sin n}{n^p+\sin n} \\ =\dfrac{\sin n}{n^p} \dfrac{1}{1+\dfrac{\sin n}{n^p} } \\ = \dfrac{\sin n}{n^p} (1-\dfrac{\sin n}{n^p}+o(\dfrac{\sin n}{n^p} )) \\ =\dfrac{\sin n}{n^p} -\dfrac{\sin^2 n}{n^{2p}} \end{gathered}

分别看:第一项是 $p\le 1$ 条件收敛 $p>1$ 绝对收敛,第二项 $p>\dfrac12$ 收敛 $p<\dfrac12$ 发散.

于是 $p\in (-\infty,\dfrac12]$ 发散, $(\dfrac12,1]$ 条件收敛, $(1,+\infty)$ 绝对收敛.

T7

2. 设级数 $\sum_{n=2}^{\infty} (a_n - a_{n-1})$ 绝对收敛, 且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛. 证明: 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛.

\begin{gathered} \sum _{i = 1} ^{n} a_ib_i \\ =\sum_{i=1}^n a_i(B_i-B_{i-1}) \\ =\sum_i^{n-1} B_i(a_i-a_{i+1})+a_nB_n \\ \end{gathered}

对第二项, $B_n,a_n$ 分别收敛( $a_n$ 收敛用柯西),故收敛.

对第一项:

\begin{gathered} \sum _{i = 1} ^{n-1} \vert B_i \vert \vert a_i-a_{i-1} \vert \\ \le M\sum _{i = 1} ^{n-1} \vert a_i-a_{i-1} \vert \end{gathered}

绝对收敛,所以第一项收敛.

于是原式收敛.

T8

3. 设级数 $\sum_{n=2}^{\infty} (a_n - a_{n-1})$ 绝对收敛, 且 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ , 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 的部分和有界. 证明: 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛.

和上个题一摸一样啊,先到

\begin{gathered} \sum _{i = 1} ^{n} a_ib_i=\sum_i^{n-1} B_i(a_i-a_{i+1})+a_nB_n \\ \end{gathered}

然后第一项和上面一样处理是收敛,第二项因为 $a_n$ 极限是 $0$ , $B_n$ 有界所以收敛到 $0$ .于是原式收敛.